02-1. 수학의 핵심 개념과 용어

입문자 공부 노트. 용어 → 정의 → 예시 → 점검 질문. 이 문서는 단독으로 읽을 수 있다.

이 문서를 왜 보는가?

이 문서는 공부할 때 실제로 부딪히는 용어들을 정리한다. 강의·교재에서 갑자기 등장해 멈추게 만드는 단어들을 먼저 손에 잡혀 두자.

A. 수의 종류 — 수의 위계

용어: 자연수 → 정수 → 유리수 → 실수 → 복소수
정의:
  자연수(ℕ)  - 1, 2, 3, ...   ("물건을 세는 수")
  정수(ℤ)    - ..., -2, -1, 0, 1, 2, ...   (음수 포함)
  유리수(ℚ)  - 분수로 표현되는 수 (1/2, 0.25 = 1/4)
  무리수     - 분수로 표현 안 되는 수 (√2, π, e)
  실수(ℝ)    - 유리수 + 무리수
  복소수(ℂ)  - a + bi 꼴 (i² = -1)

기호 어원:
  ℕ = Natural    ℤ = Zahlen(독일어 "수")
  ℚ = Quotient   ℝ = Real    ℂ = Complex

점검: 1) √2가 왜 무리수인지 2분 안에 증명할 수 있나? (귀류법)
     2) "복소수가 실재하는가?" — 형이상학 문제로 넘어감 (03_현대논쟁 참고)

B. 함수(Function) — 입력과 출력의 관계

B-1. 함수의 정의

용어: f : A → B
핵심: 정의역(domain) A의 각 원소에 대해 공역(codomain) B의 원소가 정확히 하나씩 대응.
예시:
  f(x) = x² (정의역 ℝ, 공역 ℝ)
  f(2) = 4, f(-2) = 4   ← 한 입력에 한 출력 ✓
점검: y² = x 는 함수인가? (NO. x=4면 y=±2 둘 다 가능 → 한 입력에 두 출력)

B-2. 단사·전사·일대일대응

단사(injective):    서로 다른 입력은 다른 출력  ("일대일")
전사(surjective):   공역의 모든 원소가 누군가의 출력  ("덮음")
일대일대응(bijective): 단사 + 전사  ("완벽 짝짓기")

예시:
  f(x) = x³  in ℝ — 단사 ✓ 전사 ✓ → 일대일대응
  f(x) = x²  in ℝ — 단사 ✗ (양수 둘이 같은 출력)

C. 극한·미분·적분 — 변화의 수학

C-1. 극한(Limit)

용어: lim_{x→a} f(x) = L
정의: x를 a에 가깝게 보내면 f(x)가 L에 가까워진다.
직관: "a에 도달하지 않고도 거의 도달했을 때의 값"
예시:
  lim_{x→0} sin(x)/x = 1   (대표 극한)
  lim_{x→∞} 1/x = 0
점검: lim_{x→0} (1+x)^(1/x) = ? (답: e ≈ 2.718)

C-2. 미분(Differentiation)

용어: f'(x), df/dx
정의: f의 한 점에서의 순간 변화율
공식: f'(x) = lim_{h→0} [f(x+h) - f(x)] / h
직관: 그래프 그 점에서의 접선의 기울기

기본 미분:
  (xⁿ)'    = n·xⁿ⁻¹
  (sin x)' = cos x
  (cos x)' = -sin x
  (eˣ)'    = eˣ        ← 자기 자신이 도함수
  (ln x)'  = 1/x

규칙:
  곱: (fg)' = f'g + fg'
  몫: (f/g)' = (f'g - fg') / g²
  연쇄: (f(g(x)))' = f'(g(x)) · g'(x)

점검: f(x) = x²·sin(x)의 도함수는?
     (답: 2x·sin(x) + x²·cos(x))

C-3. 적분(Integration)

용어: ∫ f(x) dx
정의:
  부정적분 - 미분의 역연산
  정적분 - 그래프와 x축 사이 면적
공식: 부정적분 ∫xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1) + C  (n ≠ -1)

[미적분의 기본 정리]
  ∫_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)
  여기서 F'(x) = f(x)

직관: 미분과 적분은 "정확히 반대 연산"이다.
점검: ∫_0^1 x² dx = ?  (답: 1/3)

D. 확률 — 불확실성의 수학

D-1. 기본 개념

용어: 표본공간(Ω), 사건(A), 확률(P)
정의:
  표본공간 - 가능한 모든 결과 (주사위: {1,2,3,4,5,6})
  사건     - 표본공간의 부분집합 (짝수: {2,4,6})
  확률     - P(A) = |A|/|Ω|  (균등 가정 시)

기본 공리(콜모고로프):
  1) 0 ≤ P(A) ≤ 1
  2) P(Ω) = 1
  3) 서로 배타적 사건의 합사건 확률 = 각 확률의 합

D-2. 조건부 확률과 베이즈 정리

용어: P(A|B) "B가 일어났을 때 A가 일어날 확률"
공식: P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)

베이즈 정리:
  P(A|B) = P(B|A) · P(A) / P(B)

[고전 함정 — 의료 검사]
  질병 유병률 1%, 검사 정확도 99%
  양성이 나왔을 때 진짜 환자일 확률은?

  P(병|양성)
  = P(양성|병)·P(병) / [P(양성|병)·P(병) + P(양성|건강)·P(건강)]
  = 0.99 × 0.01 / [0.99×0.01 + 0.01×0.99]
  = 0.0099 / 0.0198
  ≈ 0.50  ← 직관적 99%가 아니라 50%

핵심: 사전확률(prior)이 낮으면 양성도 신뢰도가 낮다.

D-3. 분포(Distribution)

대표 분포:
  이항분포   - 독립 시행에서 성공 횟수 (동전 100번 던지기)
  정규분포   - 자연 현상의 가장 흔한 분포 (종 모양)
  포아송분포 - 단위 시간당 사건 발생 (콜센터 통화)
  지수분포   - 다음 사건까지의 대기 시간

중심극한정리(CLT):
  독립 변수의 합은 표본이 많을수록 정규분포에 가까워진다.
  → 평균을 내면 어떤 분포든 결국 종 모양이 된다.

E. 선형대수 — 벡터와 행렬

E-1. 벡터(Vector)

용어: v = (x, y, z, ...)
정의: 크기와 방향을 가진 양 / n차원 공간의 점
연산:
  덧셈: 성분별
  스칼라 곱: 모든 성분에 곱
  내적(dot product): a·b = Σaᵢbᵢ → 두 벡터의 유사도
점검: 두 벡터의 내적이 0이면? (직교, perpendicular)

E-2. 행렬(Matrix)

용어: m × n 행렬 (m행 n열)
정의: 숫자를 직사각형으로 배열한 것
연산:
  덧셈/뺄셈: 같은 크기끼리 성분별
  곱셈: AB = C에서 cᵢⱼ = Σ aᵢₖ bₖⱼ
  특수: 단위행렬 I, 역행렬 A⁻¹ (AA⁻¹ = I)

쓰임:
  - 연립방정식 표현 (Ax = b)
  - 좌표 변환 (회전, 확대)
  - 그래프 표현 (인접 행렬)
  - 신경망의 가중치

E-3. 고윳값(Eigenvalue) — 머신러닝의 핵심 개념

정의: Av = λv 를 만족하는 0이 아닌 벡터 v와 스칼라 λ
직관: "행렬 A를 작용해도 방향이 안 바뀌고 크기만 λ배가 되는 특별한 방향"
응용:
  - PCA(주성분 분석) — 데이터의 주요 변동 방향
  - 구글 페이지랭크 알고리즘
  - 양자역학의 측정 가능한 양들

F. 집합과 논리 — 수학의 토대

F-1. 집합(Set)

용어: 원소(∈), 부분집합(⊂), 합집합(∪), 교집합(∩), 차집합(\), 여집합(ᶜ)
드모르간 법칙:
  (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ
  (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ
점검: A = {1,2,3}, B = {3,4,5}일 때 A\B = ?  (답: {1,2})

F-2. 논리적 명제

용어: ∀(모든), ∃(어떤), → (함언), ↔ (동치)
부정 규칙:
  ¬(∀x P(x)) ≡ ∃x ¬P(x)
  ¬(∃x P(x)) ≡ ∀x ¬P(x)

예시:
  "모든 학생은 책을 읽었다"의 부정은
  "어떤 학생은 책을 읽지 않았다"

F-3. 증명 방법

1. 직접 증명     - A이면 B를 단계로 보임
2. 대우(Contrapositive) - "A이면 B"를 보이는 대신 "B 아니면 A 아님"
3. 귀류법(Reductio) - 결론의 부정을 가정하고 모순을 끌어냄
4. 수학적 귀납법   - n=1 참 + n→n+1 참 → 모든 자연수에 참
5. 구성적 증명    - 실제로 그것을 만들어 보임
6. 비구성적 증명  - 존재함을 보이지만 어떻게는 안 보여줌

⚠️ 수학에서 “증명되었다”는 결정적 의미: 일상어 “증명”과 다르게 한 점의 반례도 없어야 인정된다.

G. 입문자가 자주 부딪히는 추가 용어 (용어 사전)

연속(Continuous)    - 그래프가 끊어지지 않음
미분가능(Differentiable) - 연속 + 매끄러움 (꺾이지 않음)
수열(Sequence)      - 순서 있는 수의 나열
급수(Series)        - 수열의 합 (∑)
수렴(Converges)     - 어떤 값에 가까워짐
발산(Diverges)      - 무한대로 가거나 안정 안 됨
다항식(Polynomial)  - aₙxⁿ + ... + a₁x + a₀
지수(Exponential)   - aˣ 꼴
로그(Logarithm)     - 지수의 역연산: log_a(b) = c ↔ aᶜ = b
편미분(Partial)     - 다변수 함수에서 한 변수만 미분
그래디언트(Gradient) - 다변수 함수의 가장 가파른 방향 벡터
선형(Linear)        - f(ax+by) = af(x)+bf(y) 만족

자기 점검 체크리스트

□ 자연수~복소수의 위계와 각 기호(ℕℤℚℝℂ)의 어원을 안다
□ 함수의 정의를 자기 말로 적을 수 있다
□ 미분과 적분이 서로 역연산임을 식으로 보일 수 있다
□ 베이즈 정리로 의료 검사 함정을 직접 계산할 수 있다
□ 정규분포·이항분포·포아송분포의 일상 예시를 댈 수 있다
□ 행렬 곱과 고윳값의 직관을 안다
□ 5가지 증명 방법을 구분할 수 있다
□ 자주 헷갈리는 용어 10개에 정의를 붙일 수 있다

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